整数bbin中的一个出人意料的结论 | Matrix67: The Aha Moments

把 6 任一或多个无符号整数的和。,本质上区别的receiver 收音机如次 11 种:

bbin编程序 有几个区别的数字?
6 1
5 + 1 2
4 + 2 2
4 + 1 + 1 2
3 + 3 1
3 + 2 + 1 3
3 + 1 + 1 + 1 2
2 + 2 + 2 1
2 + 2 + 1 + 1 2
2 + 1 + 1 + 1 + 1 2
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1

在那里面,表现每行向右转舵的数字。,该bbin编程序中有几个区别的数字?。把所非常数字加在立刻的列中。,解散 19 。幻术的是,是否你历数个人财产bbin编程序中 1 总次数,你会找到果实同样很。 19 。

这不是并存。。说起来,在流行中的恣意无符号整数,多方面的bbin编程序中区别的数的编号积和,它必然的相等的所非常规。 1 总次数。为什么会这么?这一定论有更整齐的的综合。,你能忆起吗?

这一定论可以使受欢迎到,在流行中的恣意无符号整数 n 来说,多方面的bbin编程序中涌现了反正 k 次数积和,必然的相等的个人财产调动球员。 k 总次数。以 n = 6, k = 2 为例:

bbin编程序 反正有几种? 2 次的数
6 0
5 + 1 0
4 + 2 0
4 + 1 + 1 1
3 + 3 1
3 + 2 + 1 0
3 + 1 + 1 + 1 1
2 + 2 + 2 1
2 + 2 + 1 + 1 2
2 + 1 + 1 + 1 + 1 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1

右列积和为 8 ,这完全地是个人财产bbin编程序中 2 总次数。再譬如,下面的bbin编程序列表中完全地只涌现了任一 6 ,同时,只要任一数字涌如今任一规中。 6 次的形势。这指示定论是 n = 6, k = 6 形势同样很。。从前的定论,说起来,那执意 k = 1 时期特别形势。

接下来,使受欢迎后,我们家将整齐的证明是定论。。让我们家以它为例。 n = 6, k = 2 举个先例,让我们家来阐明一下。。我们家先列出个人财产在某个bbin编程序中涌现了反正 2 次的数:

(4, 1, 1) 里的 1
(3, 3) 里的 3
(3, 1, 1, 1) 里的 1
(2, 2, 2) 里的 2
(2, 2, 1, 1) 里的 2
(2, 2, 1, 1) 里的 1
(2, 1, 1, 1, 1) 里的 1
(1, 1, 1, 1, 1, 1) 里的 1

继,我们家再用bbin编程序加下标的方式,列出个人财产收录 2 的bbin编程序。任一bbin编程序中必须几个 2 ,该编程序临到反复列出几次,连裤内衣下标 1, 2, 3, … 来区别。

(4, 2) 1
(3, 2, 1) 1
(2, 2, 2) 1
(2, 2, 2) 2
(2, 2, 2) 3
(2, 2, 1, 1) 1
(2, 2, 1, 1) 2
(2, 1, 1, 1, 1) 1

我们家要做的,执意在这两个列表经过达到一一对应的相干。很复杂:是否某个bbin编程序中涌现了反正 2 次 i ,我们家就把在那里面 2 个 i 变为 i 个 2 ,并为所得的bbin编程序添加下标 i 。轻易看出,把 2 个 i 变为 i 个 2 ,个人财产数的总和不变式,如此所得的依然是任一合法的bbin编程序;而且鉴于所得的bbin编程序中曾经有反正 i 个 2 了,如此添加的下标 i 确凿在应非常范围内。于是,前任一列表里的恣意一都可以用这种方式更迭为后任一列表里的在那里面一。相反地,后任一列表里的恣意一也都可以反过来生产量前任一列表里的在那里面一,你只必要把下标所示的偌多个 2 变为 2 个下标所示的这编号那就够了。这就证明是了,两个列表经过在一一对应的相干。

(4, 1, 1) 里的 1   ——   (4, 2) 1
(3, 3) 里的 3   ——   (2, 2, 2) 3
(3, 1, 1, 1) 里的 1   ——   (3, 2, 1) 1
(2, 2, 2) 里的 2   ——   (2, 2, 2) 2
(2, 2, 1, 1) 里的 2   ——   (2, 2, 1, 1) 2
(2, 2, 1, 1) 里的 1   ——   (2, 2, 2) 1
(2, 1, 1, 1, 1) 里的 1   ——   (2, 2, 1, 1) 1
(1, 1, 1, 1, 1, 1) 里的 1   ——   (2, 1, 1, 1, 1) 1

这么定论叫做 Elder 定理,它是由滑铁卢大学的一名先生 Paul Elder 在 1984 年证明是的。风趣的是, Richard Stanley 远在 1972 年便找到了这么定论,并把它提到到了 The American Mathematical Monthly 的 Problems and Solutions 列,没忆起却被以蓝色铅笔删改回绝了。 Stanley 猜度,这能够是因以蓝色铅笔删改缺乏朗读标题的意义。 Stanley 跟 Daniel Cohen 我参考了这么话题。,后者是在 1978 颁发于2002 Basic Techniques of Combinatorial Theory 在船中部把 k = 1 这种形势被用作任一使用。,并提到 Stanley 的名字。如此, k = 1 这种特别形势间或高水平 Stanley 定理。越过方式来源于 Richard Stanley 个人的 Enumerative Combinatorics 一书。

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